O que é um site responsivo e porque ele é importante?

Um site responsivo é um tipo de site que adapta seu tamanho de acordo com o tamanho da tela de quem está acessando o site.

Hoje em dia temos telas de vários tamanhos pois os celulares, smartphones e tablets também são telas usadas para acessar sites:
Site responsivo advosite

Recentemente o Google anunciou que vai dar maior ranking para os sites que forem responsivos, ou seja, são melhores visualizados em dispositivos mobile:

"O novo algoritmo rebaixou sites que são construídos em Flash, que não possuem design responsivo ou que não oferecem links com facilidade de clique. A alteração faz bastante sentido, já que cerca de 89% dos donos de smartphones de todo o mundo utilizam o Google para fazer pesquisas. Ainda não se sabe com precisão quantas páginas foram afetadas. Também ainda não há informações se pesquisas realizadas em computadores também serão impactadas. A gigante de buscas, até o momento, não liberou nenhum balanço sobre a mudança. Para o usuário final, a atualização melhora a experiência, já que páginas adaptadas aparecerão na frente. Quem é dono de um site que não atende aos requisitos terá que adaptá-lo, se quiser que ele seja melhor ranqueado."  http://mashable.com/2015/04/21/google-mobile-search-2/

Veja a notícia da BBC:

IBGE: Metade dos brasileiros estão conectados à internet; Norte lidera em acesso por celularFonte: http://www.bbc.com/portuguese/noticias/2015/04/150429_divulgacao_pnad_ibge_lgb